Forecast R² 衡量哪条线的拟合

Week 12 的 forecast R² 来自 Mincer–Zarnowitz 回归，简称 M-Z 回归：在测试集上，用实际值 y 对原预测值 ŷ 做含截距的回归。

这条辅助回归会重新估计截距 α 和斜率 β，得到 y = α + βŷ + u。它的 R² 衡量实际值与预测值的线性关联。原预测是否接近实际值，还要计算 y − ŷ。

理想校准对应 α = 0、β = 1，辅助回归线与 45 度线重合。只要允许截距和斜率重新调整，原预测存在系统偏差时，辅助回归也可能拟合得很好。

四个预测值的误差仍然存在

Week 12 练习示例中的 Model A 给出以下数值，响应单位为指数点。

四行都满足 y = 4 + 0.8ŷ。例如，原预测 10 对应实际值 12，因为 4 + 0.8 × 10 = 12。辅助回归能精确拟合这四个实际值，回归残差为零，所以 forecast R² = 1。

原预测没有经过这次线性调整，误差仍是 2、1、0、−1。平均绝对预测误差（MAFE）为：

MAFE =（2 + 1 + 0 + 1）÷ 4 = 1

均方根预测误差（RMSFE）为：

RMSFE = √［（4 + 1 + 0 + 1）÷ 4］≈ 1.225

两者单位都是指数点。分母 4 是测试观测数，不扣除训练模型的参数个数。

解释结果时保留两个比较对象

这里 forecast R² = 1 对应的是 y 与 4 + 0.8ŷ 的完全拟合。MAFE = 1 和 RMSFE ≈ 1.225 对应的是 y 与原预测 ŷ 的差距。截距 4、斜率 0.8 也显示原预测没有达到 α = 0、β = 1 的理想校准。

如果直接用原预测计算 1 − SSE/SST，同一组数据会得到 1 − 6/80 = 0.925。这个数与本周定义的 M-Z forecast R² 使用不同的残差，不能混用。