MATH2521 A4 Final Exam

Week 10 的内容没有 test 检查过

Class test 2 排在 Week 9，学校写明它覆盖 lecture 的 Week 4 到 Week 8。Week 10（11 月 16 日到 22 日）讲 real improper integrals 和 real trigonometric integrals，排在这次 test 之后。五项 learning outcome 里，用复方法算这两类实积分的一项也只对应 Final exam。学校还写明，Final 会 concentrate particularly on the later parts of the course。

这样一来，这部分内容在 Final 之前没有一次 test 的反馈，写法对不对要靠做题自己核对。T3 2023 的 Final 卷里，Question 3 的 (b) 和 (c) 正好是这两类积分，下面就用这两问说明两条路线的差别。

用 2023 卷时要分开看内容和题型。本期官方写的题型是 multiple choice、short numerical 和 short answer，时长 typically 2 小时 10 分钟，细节 will be confirmed during the course。2023 那份是三道等值大题，2 小时加 10 分钟 reading time，没有 multiple choice。所以它只说明 2023 年的考法，这里拿来练积分步骤，不代表本期还这样出题。

半圆路线：J 算出来以后还差弧段

Question 3(c) 要算：

$$I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{(x^2+3)(x^2+5)},dx.$$

题目给的围道 C 由实轴上从 −R 到 R 的线段 C₁ 和上半圆 C₂ 组成，R＞3。f(z)＝z²/[(z²+3)(z²+5)] 在 ±i√3、±i√5 有简单极点，R＞3 保证 i√3 和 i√5 都在 C 内，下半平面的两个极点在 C 外。用 p/q′ 算出这两个留数，分别是 i√3/4 和 −i√5/4，于是：

$$J=\int_C f(z),dz=2\pi i\left(\frac{i\sqrt3}{4}-\frac{i\sqrt5}{4}\right)=\frac{\pi}{2}(\sqrt5-\sqrt3).$$

这个 J 是整圈围道的积分，里面还包含半圆 C₂ 那一段，所以它要拆开写：

$$\int_{-R}^{R}\frac{x^2,dx}{(x^2+3)(x^2+5)}+\int_{C_2}f(z),dz=J.$$

要从这里得到 I，还要说明 C₂ 上的积分在 R→∞ 时趋于 0。C₂ 上 |z|＝R，分母要往下估，得到 |z²+3|≥R²−3 和 |z²+5|≥R²−5。弧长是 πR，ML 不等式给出：

$$\left|\int_{C_2}f(z),dz\right|\le\frac{\pi R^3}{(R^2-3)(R^2-5)}\to0.$$

上式分子是 R 的三次，分母是四次，所以极限为 0。令 R→∞ 以后，I＝π(√5−√3)/2。

Lecture 的例题还会在这些步骤之前确认积分收敛，因为从 −∞ 到 ∞ 的积分等于 −R 到 R 积分的极限，这件事只在积分收敛时成立。f(x)＝x 时，−R 到 R 的积分恒为 0，从 −∞ 到 ∞ 的积分却发散。2023 这一问没有单独要求这一步，官方解答也没有写。如果要用 lecture 的 convergence lemma，这道题里 c 取 2 时 x²f(x)→1，条件不满足，取 c＝3/2 才行。Lemma 只要求 c＞1，c 可以不是整数。