Sharpe 选 X，Treynor 选 Y。题目里决定用哪个指标的是这半句：add one of the two stock funds to her well-diversified portfolio。基金加进一个已经充分分散的组合，它自己的 residual risk（σe）会被分散掉，留下来影响组合风险的只有 β，所以比较每单位 β 换来的超额收益，用 Treynor，选 Y。如果这只基金就是投资者全部的 risky portfolio，σ 里的每一部分风险都由她承担，这时比较 Sharpe，X 更好。Information ratio 对应第三种情况：在 passive index 之外加一个 active portfolio，比较每单位 residual risk 换来多少 alpha。

同一套题里还有一道：两个组合的平均收益和标准差都相同，X Fund 的 β 更低。Sharpe 和 M² 只用 σ，两只基金各自相同；Treynor 用 β，X 更高。X 的 β 更低，所以它的 alpha 和 σe 都比 Y 大，information ratio 是两者相除，单凭题目判断不了谁高。四个说「Y 更好」的选项都不成立，剩下 None of the options are correct。

Treynor-Black 先把方差和标准差分清

另一套往届题的第 1 题：一只 mispriced asset，α = 3%，β = 1，unsystematic risk σe² = 9%，market risk premium 5%，market standard deviation 0.1，问这只资产的 information ratio，和最优组合里放多少在它身上。

两个公式要的量不一样。Information ratio 是 α / σe，用标准差：σe = √0.09 = 30%，IR = 3% / 30% = 0.1。初始权重 w0 = (α / σe²) / ((E(RM) − rf) / σM²)，分子分母都用方差：σM² = 0.1² = 0.01，w0 = (0.03 / 0.09) / (0.05 / 0.01) = 0.333 / 5 = 6.67%。β = 1 时，调整式 w* = w0 / [1 + (1 − β)w0] 算出来还是 6.67%，所以这道选 0.1 和 6.67%。

选项里还有 0.33 和 66.67% 两个数，分别是把方差和标准差用反的两种算法。IR 拿 σe² 去除，得到 0.03 / 0.09 = 0.33；w0 的分母把 0.1 直接当成 σM²，得到 0.333 / 0.5 = 66.67%。

同类题在前一套往届题里又出了一次，σM 换成了 market Sharpe ratio：α = 4%，residual variance 16%，market risk premium 5%，market Sharpe ratio 0.5。σM 要先从 Sharpe ratio 反推，5% / 0.5 = 10%，平方得 0.01。w0 = (0.04 / 0.16) / (0.05 / 0.01) = 0.25 / 5 = 5%，β = 1，最后的比例是 5%。

Fixed income 大题后一问要用前一问的数

往届的债券大题给了一只债券：face value 1,000，coupon rate 5%，YTM 7%，4 年后到期，后面接五问。题目开头写着 clearly note down your own workings in case you need to refer back to it in a later section。

(a) 不算价格判断 premium 还是 discount。coupon rate 5% 低于 YTM 7%，价格低于面值，是 discount bond。

(b) 价格。按年付息每年 50，P = 50 × (1 − 1.07⁻⁴) / 0.07 + 1,000 / 1.07⁴ = 169.36 + 762.90 = 932.26。

(c) Duration。这一问提示 You can paste your workings from an excel file，上一期的说明写明考场里不能打开 Excel 或其他应用。本期是闭卷监考，下面这张表要能用计算器逐期算出来：

Macaulay duration = 3,460.68 / 932.26 = 3.71 年。现值合计等于 (b) 的价格，可以拿来核对。

(d) 用 10 年和 3 年两只 zero-coupon bond 给一笔 duration 3.71 年的负债做 immunisation。zero-coupon bond 的 duration 等于它的期限，设 10 年那只权重 w，10w + 3(1 − w) = 3.71，w = 10.2%，3 年那只 89.8%。

(e) Convexity。两只 zero 的现金流分在第 3 年和第 10 年，如果负债是 3.71 年后一次付清，资产组合的 convexity 比负债大。duration 相等只保证利率小幅变动时两边价值同步变化；利率变动较大时，convexity 更大的资产组合涨得更多、跌得更少，两边不再同步。时间推移和利率变化也会让两边的 duration 分开，所以权重要定期重新调整。

(c) 的 3.71 年直接进入 (d) 的方程。上一期的说明写了 Mistakes will be penalised once only，也写了答错又没有写 working 的拿不到 part marks。按这两条，(c) 算错时，(d) 用这个错数但方法写对，前面的错只扣一次，前提是每一问的 working 都写进了答题框。