🔗 Week 5 换一条路，结果就变了

Week 5 有个例子我挺喜欢。同一个函数 z̄，同样从 1 积到 4+i，走直线段得到 8+i，换成一条折线，得到的就是 8+4i。起点终点都没变，结果却不一样，这就是 contour integral 的 path-dependent。再加上 1/z 沿单位圆绕一圈，积出来是 2πi，并没有归零。

说到这里，Week 5 其实给后面留了一个问题：什么情况下路线会影响结果，影响又有多大。接下来几周，每周都在回答它的一部分：

• 🧩 Week 7：函数在路线上和路线里面都 holomorphic，积分直接等于 0，这就是 Cauchy-Goursat；里面恰好有一个出问题的点 z₀，就用 Cauchy 积分公式得到 2πi f(z₀)
• 🔍 Week 8：Laurent 级数说明，绕一个出问题的点转一圈，展开式里只剩 (z−z₀)⁻¹ 那一项的系数
• 🎯 Week 9：这个系数被命名为 residue，路线里有好几个点，积分就等于 2πi 乘上各个 residue 之和
• 🧮 Week 10：把这整套工具反过来，用在实积分上

所以这条链一环扣一环，Week 5 和 Week 7 一旦没跟上，后面几周就都在用你还没弄懂的东西。而 Week 9 的 Class test 2 又刚好卡在留数这一周，影响会一路传过去。我自己的取舍是，把多出来的时间先给 Week 5 和 Week 7，这两周弄懂了，后面几周就是顺着往下接。

📌 Week 5 留下的问题是「换条路线，积分会不会变」，Week 7 到 Week 9 的三个定理，都在回答这同一个问题。

🎩 一道从头到尾没有 i 的积分

Week 10 放了一道我觉得特别有意思的题：∫ dx/(x⁴+1)，积分范围是整条实轴。用一年级的办法，你得先把 x⁴+1 拆成两个实二次式，再做部分分式、配方，然后是两个对数积分加两个反正切积分，整个过程写下来挺长。换成复方法，就把它放进上半平面的一个半圆路线里，这个半圆刚好圈住两个出问题的点 e^(πi/4) 和 e^(3πi/4)。接下来就是 Week 9 的老动作，两个 residue 相加，再乘 2πi。然后还要证明半圆弧那一段在半径趋于无穷时趋于 0，这一步用 ML 估计来处理。最后取极限，结果是 π/√2。你看，题目里没有复数，结果里也没有复数，复数只在中间那段计算路径上出现了一下。

这和 Week 1 讲的历史正好接上。

Cardano 解 x³=15x+4 的时候，公式里冒出了 √−121，Bombelli 给出了运算规则，按规则算下去，两个立方根的虚部互相抵消，剩下实数解 4。整门课从「复数是被实数问题逼出来的」开始，到 Week 10 用复数去算实积分收尾，我挺喜欢这个首尾呼应。

当然，学会以后你也要知道边界。看到整条实轴上的有理函数积分，你可以换成「数上半平面有几个点，各算一个 residue」；不过像 ∫ dx/(x²+1) 这种，用反正切一行就得到 π，就没必要绕这一大圈了。另外，这类用复方法算实积分的内容，对应的是 Final exam。

🧭 闭合路线上的积分，先数圈里的点

如果你拿到闭合路线上的积分，第一步就把路线参数化开始硬算，很容易白算一整页。比如 Week 7 有一道：被积函数是 Log z 除以 (z²+64) sin³z，路线是顶点在 1±i 和 3±i 的正方形。要是把四条边逐段参数化，光写式子就够你忙半天。那换个顺序，先找出问题的点：Log z 在负实轴上出问题，z²+64 在 ±8i 等于 0，sin z 在 nπ 等于 0。再一个个看位置，负实轴和 ±8i 都离正方形很远，麻烦在 π 这里。⚠️ π≈3.14，正方形右边界是 x=3，两者只差 0.14，π 刚好落在外面。三类点全在外面，积分直接等于 0。

我把这个顺序拆成三步，你可以直接照着用：

1. 标出被积函数不 holomorphic 的点，分母等于 0 的位置、对数的 branch cut 都算进去
2. 逐个判断它在路线上、里面还是外面，边界附近的值要真的算出来
3. 按圈住的个数选工具：0 个直接得 0，1 个用 Cauchy 积分公式，多个用留数定理

这三步从 Week 7 一直用到 Week 10，对应的正是 Class test 2 和 Final exam 检查的积分定理和留数。四次 test 都得你自己完成，这个顺序越早练成习惯，到考场上就越不容易乱。

🔑 MATH2521 的闭合路线积分先别急着参数化：标出函数出问题的点，数清路线圈住了几个，0 个得 0，1 个用 Cauchy 积分公式，多个用留数定理。