指定收敛点会限制展开式

Week 8 的洛朗级数（Laurent series）题，可能要求「按 z 的幂展开，并在 z＝2i 收敛」。这里展开中心仍是原点，2i 用来确定所需的收敛区域。

用练习中的函数说明：

$$f(z)=\frac{z}{(z-1)(z+4)}.$$

它在 1 和 −4 有奇点，到原点的距离分别是 1 和 4。因此，以原点为中心的展开分成三个区域：

$$|z|<1,\qquad 1<|z|<4,\qquad |z|>4.$$

由于 |2i|＝2，题目所需的是中间圆环。若直接写一个只在 |z|＜1 收敛的级数，即使代数整理无误，也不能在指定点使用。

中间圆环里，两项要分别展开

部分分式分解给出：

$$f(z)=\frac{1}{5(z-1)}+\frac{4}{5(z+4)}.$$

在 1＜|z|＜4 内，前一个分式要提出 z：

$$\frac{1}{5(z-1)}=\frac{1}{5z}\frac{1}{1-1/z}.$$

此时几何级数的公比是 1/z。圆环保证 |1/z|＜1，所以展开产生 z 的负幂。

后一个分式要提出常数 4：

$$\frac{4}{5(z+4)}=\frac{1}{5}\frac{1}{1+z/4}.$$

它的公比是 −z/4，而圆环也保证 |z/4|＜1，所以这一项产生 z 的非负幂。两项使用不同的提因子方式，才能同时在目标圆环收敛。

把展开式和区域写在一起

合并以后得到：

$$f(z)=\frac15\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^{n+1}}+\frac15\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n z^n}{4^n},$$

$$1<|z|<4.$$

前一串级数要求 |z|＞1，后一串要求 |z|＜4；两者的交集就是 answer 的适用区域。

如果改成在 |z|＜1 展开，前一个分式就要写成 −1/[5(1−z)]，公比换成 z。如果改成在 |z|＞4 展开，后一个分式也要提出 z，公比换成 −4/z。同一个函数的展开式随圆环改变，因为每一串几何级数都必须满足公比的模小于 1。