各投一半，收益和风险分别计算

Week 11–12 的两股票组合题，需要把持仓比例换算成组合的期望收益和风险。下面用一道 exam prep 练习演算，数值为练习设定。

股票 1 的期望收益为 8%，标准差为 15%；股票 2 的期望收益为 12%，标准差为 25%。两只股票的相关系数为 0.5，各投入一半资金。

期望收益可以直接按持仓比例加权：

$$e_p=0.5\times8%+0.5\times12%=10%$$

组合风险还取决于两只股票如何一起波动。相关系数为 0.5，表示它们的收益存在正相关；把资金分开以后，仍需计入这部分共同波动。

协方差进入组合方差

为方便计算，下面把收益率写成百分数数值，例如 15% 写成 15。方差的单位相应是百分点的平方。

协方差等于相关系数乘两只股票的标准差：

$$\operatorname{Cov}_{12}=0.5\times15\times25=187.5$$

设两只股票的权重为 $w_{1}$ 和 $w_{2}$，组合方差为：

$$v_p=w_{1}^2s_{1}^2+w_{2}^2s_{2}^2+2w_{1}w_{2}\operatorname{Cov}_{12}$$

前两项分别计算每只股票经持仓比例调整后的方差，第三项计入共同波动。两只股票的权重都为 0.5，代入得到：

$$v_p=0.25\times225+0.25\times625+0.5\times187.5=306.25$$

漏掉协方差项会算出 212.5，比完整的组合方差少了 93.75。在这组正相关数据下，这会低估组合风险。

开方以后，再计算夏普比率

方差 306.25 开方得到 17.5，对应的收益率标准差为 17.5%。如果直接平均 15% 和 25%，会得到 20%。两者相差的原因，是两只股票没有完全同向波动，组合产生了分散化收益。

对两个权重都为正的组合，标准差等于加权平均标准差，需要相关系数为 1。当前相关系数是 0.5，所以标准差低于 20%；这也不代表组合风险已经低于每只股票，本例仍高于股票 1 的 15%。

若练习再给出无风险利率 4%，夏普比率用超额收益除以组合标准差：

$$SR=\frac{10-4}{17.5}\approx0.343$$

计算夏普时，10、4、17.5 的单位一致，分母取标准差 17.5，不能填方差 306.25。