同一个标准化式子

Week 4 把一个数值换成标准单位：z = (x - 均值) / SD。均值 120 mm、SD 6 mm 的长度模型里，126 mm 对应 z = 1。

从 Week 8 开始，被标准化的对象换成了统计量：抽 n 次的总和、样本均值、样本比例，或者两个均值的差。式子写成：

z = (OV - EV) / SE

OV 是这一次观察到的统计量，EV 是模型下它的期望值，SE 是它在重复抽样中通常会偏离 EV 多少。分母从 SD 换成 SE：SD 描述单个观测的离散程度，SE 描述统计量在不同样本之间的波动。

Week 8 的正态近似、Week 9 的比例和置信区间、Week 10 的比例检验、Week 11 的 Z 和 T 检验都用这个式子。Week 12 的双样本 T 检验和回归斜率检验同样是估计值减去 H0 下的值，再除以 SE。卡方检验不在这一类：它把每一格的 (O - E)² / E 加起来，比较的是整张频数表。

这几周的计算题可以按同一个顺序写：统计量是什么，EV 从哪个数来，SE 用哪条公式，然后算出 z 或 t，再查对应分布的尾部面积。

总和与均值：SE 往相反方向变

Week 8 的盒模型里，盒子 SD 记作 σ，独立有放回地抽 n 次：

示例：盒子里只有 2 和 8 两种签，各占一半，盒子均值是 5，SD 是 3。抽 100 次，总和的 EV 是 500、SE 是 30；均值的 EV 是 5、SE 是 0.3。抽取次数增加到 400 次，总和的 SE 变成 60，均值的 SE 变成 0.15。

题目写「样本量增大」时，要看它问的是总和还是均值：总和的波动绝对量变大，均值的波动变小。盒子 SD 描述的是单张签，不随抽取次数改变。

盒子是已知的完整总体，计算盒子 SD 时把每张签都算进去，分母是签的张数。R 的 sd() 默认分母是 n - 1，用它算出的值会比按签数算的盒子 SD 略大。

比例：区间用样本比例，检验用 p0

Week 9 的置信区间和 Week 10 的比例检验都要算比例的 SE，代进去的比例不同。

示例：随机抽 400 人，228 人赞成，样本比例是 0.57。

做置信区间时总体比例未知，用样本比例 0.57 代替：SE = √(0.57 × 0.43 / 400) ≈ 0.025。约 95% 的区间是 0.57 ± 2 × 0.025，也就是 0.52 到 0.62。区间整段在 0.50 以上，在模型条件下支持总体过半。