然后 Week 3 自己就先给它打了第一个补丁。久期是一条切线，它去近似的却是一条弯的价格曲线，所以收益率无论往上还是往下，切线给出的价格都比实际价格低。凸性这个二阶项就是用来把这段差补回去的。

到了含权债券，前提直接被拆掉了。持有一只可赎回债券，等于你买了一只无期权债券，同时向发行人卖出一个看涨期权。发行人什么时候把这只券赎回去，取决于利率走到哪个位置，也就是说现金流归对方说了算。修正久期成立的前提是现金流固定，这个前提在这里失效。价格要改用二叉树模型重算一遍，久期换成有效久期，利差换成 OAS。做法是在利率树的每个节点加上一个固定利差，让理论价值正好等于市场价格。课上那个试错的例子里，市场价 99.50、模型先算出 101.432，试到 75 个基点两边就对上了。

⚠️ 修正久期成立只靠一条前提：利率变了，这只券的现金流不动。前提一破，公式照样能算出一个数，只是那个数已经不属于你手里这只券。

🏠 借款人手里的那个开关，能把凸性的符号翻过去

顺着这条线再往前走一站，最有意思的落点是住宅抵押贷款支持证券。

房贷借款人天然握着一个提前还款的权利，什么时候用由他决定。于是你会遇到两个方向都不舒服的情况：

• ⬇️ 利率一降，他们集体去再融资，把本金提前塞回给你。钱回来的时机恰好是市场上只剩低利率的时候，你只能低息再投资。
• ⬆️ 利率一升，他们全都不动了。你被锁在这份低息资产里，看着市场上的高利率参与不了。

这两种后果在课上分别叫收缩风险和扩展风险，摊开来看就是一张很反直觉的对照：无期权债券利率下降时涨得多、上升时跌得少；抵押贷款支持证券利率下降时涨得少、上升时跌得多。凸性的符号翻过去了。

📉 数字上的落差比文字更狠。同一只 CMO 分层，用固定的提前还款速度算标准凸性，得到 +24.930；换成允许提前还款速度随利率变化的场景算有效凸性，得到 −249.299。同一只券，同一个价格，只换了一套现金流假设，符号就反了。久期也一样，修正久期 7.54 对有效久期 7.11。

顺着这个再看一眼分层。一个 4 亿元的顺序支付 CMO 拆成 A、B、C、D 四层，本金按顺序归还。在 165 PSA 这个基准提前还款速度下，抵押品整体平均寿命 8.76 年，Tranche A 只有 3.48 年，Tranche D 是 20.27 年。同一个资产池，切一刀就造出寿命差十几年的两种券。学会以后你会发现这一刀切的只是风险归属，提前还款风险一点没少，只是从短分层挪到了长分层。

🔑 拿到一只债券，先看它的现金流归谁说了算

这门课的题面花样不少，最省力的走法只有一条。先看这只券的现金流归谁说了算，再决定用哪把尺子去量它。现金流由合约写死的，像政府债、普通公司债，修正久期加凸性够用，公式能一路推下去。现金流可以被对方改的，像可赎回债、可回售债、抵押贷款支持证券，修正久期会给你一个能算出来的错数，得先用估值模型把价格重算一遍，再取有效久期和有效凸性，利差用 OAS。

这一条横跨了整个学期。Week 3 建起来的计算工具、证券化那两周换上来的资产、Week 12 的含权债券，全都从这一句往下分岔。考试里那类问「为什么修正久期不适用于这只券」的题目，答题的起点也在这里。

拿到一只债券，先看它的现金流归谁说了算。归合约的，修正久期加凸性直接推；归对方的，先用模型重算价格，再取有效久期。这一句从第三周一直用到第十二周。