一只股票的波动拆成两块

一只股票 beta 0.9，市场波动 18%，公司特有（idiosyncratic）标准差 12%，数据取自 Week 10 的 Q8。单指数模型把它的总方差写成两项相加：

σ² = β² × σM² + σ²(e)

市场那一项是 0.9² × 0.18² = 0.026244，公司特有那一项是 0.12² = 0.0144，合计 0.040644，开方得到总波动 20.16%。两项都是方差，所以可以直接相加；把市场部分的标准差 16.2% 和 12% 直接相加是 28.2%，和 20.16% 对不上。

64 只股票的组合只摊薄公司特有方差

把 64 只这样的股票等权放进组合，题目假设各自的公司特有冲击互相独立。组合的 beta 仍是 0.9，市场那一项 0.026244 不变；公司特有方差除以 64，变成 0.0144 ÷ 64 = 0.000225。组合方差是 0.026469，波动 16.27%。

除以 64 的是方差 0.0144。换成标准差来想，公司特有部分的标准差除以 √64 = 8，12% ÷ 8 = 1.5%，1.5% 的平方正好是 0.000225。把 12% 直接除以 64 得到 0.19%，平方后只有 0.0000035，比 0.000225 小了 64 倍，组合波动会算成 16.20%，低于正确的 16.27%。

股票数趋于无穷时，0.0144 ÷ n 趋于 0，组合方差只剩 0.026244，波动停在 0.9 × 18% = 16.20%。从单只的 20.16% 到 64 只的 16.27%，增加股票减掉的是公司特有的那部分；剩下的 16.20% 来自市场，增加持股数量不会让它变小。

用相关系数写出的同一个下限

另一种写法在 Week 8：每只股票波动都是 σ，两两相关系数都是 ρ，等权持有 n 只时

σp² = σ² ÷ n + (n − 1) ÷ n × ρσ²

σ² ÷ n 这一项随 n 变大趋于 0，ρσ² 那一项留下来，所以组合波动的下限是 √ρ × σ。

把 Week 10 那只股票代进来：两只股票之间的协方差只来自市场，等于 0.9 × 0.9 × 0.18² = 0.026244，相关系数是 0.026244 ÷ 0.040644 ≈ 0.646。√0.646 × 20.16% ≈ 16.20%，和单指数模型算出的下限是同一个数。

题目问至少持有几只

设 σ = 40%，ρ = 0.25（Week 8 的 Q2），下限是 √0.25 × 40% = 20%。持有 25 只时方差 0.0064 + 0.0384 = 0.0448，波动 21.17%，比下限高 1.17 个百分点。

要求组合波动低于 22%，就拿方差比较：0.22² = 0.0484。公式改写成 σp² = ρσ² + (1 − ρ)σ² ÷ n = 0.04 + 0.12 ÷ n，解 0.04 + 0.12 ÷ n < 0.0484 得 n > 14.29。股票按整只持有，向上取整为 15 只。代回验算：14 只是 22.04%，15 只是 21.91%。

相关系数升高以后

同样 25 只股票，ρ 升到 0.85，方差变成 0.0064 + 0.13056 = 0.13696，波动 37.01%，这时的下限是 √0.85 × 40% ≈ 36.88%。持股数量没变，波动从 21.17% 升到 37.01%，原因是 ρσ² 那一项随 ρ 放大。

Week 8 的简答 Q8（150 words）给出危机中各行业相关系数从 0.30 左右升到 0.80 以上的情形，要求解释这时分散持股失去保护作用的原因。题目列了三项要写的内容：σp → √ρσ 里 ρ 的作用，σ² ÷ n 这一项在 n 很大时不再重要的原因，以及一项风险管理做法，比如买指数 put。