ETF2100 Final Exam｜同方差被拒绝之后，回归输出里哪些数还能照抄
🎯 MR3、MR4 塌掉，动的只有标准误
MR3 写成 Var[eᵢ|X] = σ²，说的是每个观测的误差不确定性一样大，叫同方差。MR4 写成 Cov(eᵢ, eⱼ|X) = 0（i ≠ j），说的是两个观测的误差互不相关，叫无序列相关。
这两条里任意一条不成立，后面的事情其实很集中：LS 估计量依然线性无偏，失效的是标准误那条公式。异方差那一讲和自相关那一讲，各自都落到同一句结论上。
无偏这件事说白了，就是回归给出的那个 β̂ 还站得住。你照着它解读收入每多一块钱、食品支出平均往上走多少，这句话一个字都不用改。同一份输出里跟在系数后面的 S.E.、t val. 和 p 那几列，得另外处理。
先看异方差是怎么冒出来的 🍽️ course 材料里有个食品支出对收入的回归，FOOD_EXP = β₁ + β₂·INCOME + e。低收入家庭在食品上能挑的东西有限，高收入家庭的需求散得多，残差绝对值就跟着 INCOME 一起变大，Var[eᵢ|X] 于是成了收入的函数。
同方差下 Var[β̂₂|X] = σ² / Σ(xᵢ − x̄)²，异方差下换成 Σ(xᵢ − x̄)²σᵢ² / [Σ(xᵢ − x̄)²]²。改动全在方差公式里面，β̂₂ 自己那条算式没被碰到。
🔗 t 值、p 值、区间共用一个分母
MR1–MR6 同时成立的时候，(β̂ₖ − βₖ)/se(β̂ₖ) 服从 t(N−K)。往下推，95% 置信区间是 [β̂ₖ − t_c·se(β̂ₖ), β̂ₖ + t_c·se(β̂ₖ)]，单系数检验的统计量是 (β̂ₖ − c)/se(β̂ₖ)。
三样东西的分母都是 se(β̂ₖ)。那么标准误一换，t 值、p 值、区间的上下限会同时跟着换。review 的时候先把这个连接点钉住：讲假设的那一讲和讲推断的那几讲，靠 se(β̂ₖ) 拴在一起。
分子那一块一动没动，仍然是 β̂ₖ 减掉要检验的那个值。se 换了，除出来的比值就变，拒绝还是不拒绝的判断跟着变，区间的两个端点也一起挪位置。手上拿到一个修正后的 se，这三样都能重新算一遍。
🧪 现场三步，顺序尽量别调
- 检测。异方差先扫一眼残差图，残差的散布顺着某个回归元一起变宽，就是要留意的信号；正式检验用 White 检验，它属于 Lagrange Multiplier 检验的一个特例：把 ê²ᵢ 对各回归元、它们的平方项和交叉项做辅助回归，检验 H0: α₂ = ⋯ = α₆ = 0，统计量 χ²_stat = N × R²，自由度 S − 1，S 是辅助回归里 α 的个数。自相关改看相关图，第 k 阶样本自相关 rₖ 的统计量 Z_stat = rₖ√T 服从 N(0,1)，图上画 ±1.96/√T 两条界。
- 判定。统计量越过临界值就拒绝 H0，结论要落到具体说法上，比如「异方差存在，误差方差依赖于 INCOME」。
- 修正。两条路：保留 LS 估计量、换成 White 异方差一致标准误；或者先把方程改造成同方差再估计，也就是广义最小二乘，可行的版本是 FGLS。
判定那一步写全了是什么样，照 course 材料里那个演示走一遍就清楚：对 food.csv 跑 bptest(Results, ~ income + I(income^2))，输出 BP = 7.5551、df = 2、p-value = 0.02288；5% 水平下 χ²(0.95, 2) = 5.991，7.555 越过临界值，H0 被拒绝。
「拒绝 H0」这四个字后面还得接一句，把结论翻成这份数据里的具体说法，误差方差随着收入变化，接下来换标准误才接得顺。名字也顺手记一下，course 材料正文管它叫 White 检验，R 输出的抬头写的是 studentized Breusch-Pagan test，答题时两个名字并列写上。
