🔁 一份 40 户的数据，被追问了五次

周次表是一串接一串的新名词，实际反复用的数据只有少数几份。第 2 周出现的那份家庭食品支出数据，40 户，两列数，收入均值 19.60，食品支出均值 283.57，散点整体向上而且散得挺开。这份数据后面没换过。第 3 周它被拟合成一条线，FOOD_EXP = 83.42 + 10.21 × INCOME，同时给出最小二乘背后那五条假设各自在管什么风险。第 4 周问的是这个 10.210 能被信到什么程度，算出来的 95% 置信区间是 5.974 到 14.446。第 5 周换个方向问，收入 20 的家庭大概花多少，点预测落在 287.616，配套那个预测区间比斜率的区间宽得多，因为它描述的是一户具体家庭。到第 10 周，问题变成前面这些区间的前提还成不成立。餐厅那份数据走的是同一条路，75 个月的销售、价格和广告，从第 6 周的多元回归输出一路用到第 8 周的经营命题检验，第 11 周再给它加上时间下标，改写成时间序列模型。

每周新增的只有一个问题。数据、变量和上一周算出来的数字，都继续往下用。

🔗 缺一周，补的是这条链上的一环。第 5 周的预测区间用的是第 4 周那套标准误，第 4 周的标准误又建立在第 3 周那五条假设上，中间断一节，后面的数字接不上来。

🔍 第 4 周写下的那个区间，第 10 周被换掉了

顺着这条线往下走，我觉得最有画面的一幕在第 10 周。

用的还是同一份 40 户数据、同一条回归。先画绝对残差的散点图，高收入那一端明显散得更开；接着跑一个 White 型辅助回归，把收入和收入的平方一起放进去检验残差平方，输出是 BP = 7.5551、df = 2、p = 0.02288，小于 0.05，同方差这个前提被拒绝。

📉 然后重算。这一段最值得看的地方在于哪些东西动了，哪些没动：

• 斜率还是约 10.21，一位数字都没改；
• 标准误从 2.093 换成异方差一致标准误 1.8091；
• 95% 置信区间从 5.97 到 14.45，变成 6.55 到 13.87。

系数没动，能信到什么程度动了。第 4 周那句「收入每增加 AUD 100，食品支出的平均增量落在 5.974 到 14.446 之间」，到第 10 周得换成另一组端点。方向别记死，这个样本里稳健区间收窄了，换一份数据它可能反过来变宽。

学会这一段以后你能做的事很具体：拿到任何一张回归输出，先把两样东西分开看，系数落在哪里，这个系数的不确定性又是怎么算出来的。看到残差图张口，就知道后面那一半要重算。

🧭 遇到假设垮掉的题，先问要修哪一层

第 10 周的异方差和第 11 周的自相关，其实给出的是同一句结论。异方差存在时，最小二乘估计量仍然线性无偏，通常那套标准误不再正确；误差按 AR(1) 的方式延续时，在 course 给定的外生性条件下 OLS 仍然无偏，旧的方差公式也失效。中心位置站得住，算不确定性的那套方法垮了。

于是这门课的黄金法则就落在一个固定顺序上：先画残差图找线索，再用正式检验把线索变成决策，接着分清这次要修的是系数还是标准误，保留系数就换稳健标准误，要改变权重就走 FGLS 或者重新建模，最后按新方法重报 t 值、p 值和区间。

📌 拿刚才那条食品支出回归填一遍就是：残差图看到高收入端散开 → White 型检验 p = 0.02288 → 系数留着不动 → 标准误换成 1.8091 → 区间重报成 6.55 到 13.87。

这一条往回接住了第 3 周到第 8 周的全部推断训练。那几周教的每一个 t 检验、F 检验、置信区间和预测区间，都建立在标准误算对的前提上。打个比方，把同一杯奶茶在两家店的售价差当成系数，把「这个差值能被信到什么程度」当成标准误。换一种称量方式不会改变两家店实际差多少钱，只会改变你敢把这个差价说得多确定。把「这次要修哪一层」当成默认第一问，前半学期的计算题和后半学期的诊断题就能用同一套答题顺序接住，省下来的力气可以全放在算对数字上。

🔑 这条黄金法则压成一句就是：遇到假设被破坏的题，先问这次要修的是系数还是标准误。