未来信息也可能从循环外面进来。示例：循环前写 p = choose_order(r[0:120])，用全部 120 个观测选 AR 阶数，循环里的训练窗口即使切对了，早期预测用的阶数也已经看过后面的数据。选阶要放进循环，和估计参数用同一个窗口。

读 GARCH 和 GJR 的估计输出

估计表里的 omega 是方差方程的截距。长期方差要用 omega ÷（1 − alpha − beta）算，前提是 alpha 和 beta 的和小于 1。下面是三组 Gaussian GARCH(1,1) 的示例估计值：

模型 C 代进公式得到 0.03 ÷（−0.02）＝ −1.5。负数不能当方差用，它说明这个公式的前提已经不成立。模型 B 有有限的长期方差，但 Gaussian 情形下的四阶矩条件 (alpha＋beta)²＋2alpha² 算出来是 1.0659，大于 1，所以峰度公式不能用。有限方差和有限峰度要分开检查。

收益按百分点计时，这些方差的单位是百分点的平方，和绝对收益这类波动率代理比较之前要先开方。示例中 mu 的 p 值是 0.42，它只回答均值是否为零。过去的平方冲击和条件方差有没有联系，要看 alpha 的 p 值。

GJR 的输出多一个 gamma，负冲击的平方项系数是 alpha＋gamma，正冲击是 alpha。示例：omega 0.045、alpha 0.06、gamma 0.16、beta 0.84。三个系数直接相加得到 1.06，这个数只描述负冲击那一侧。创新对称且方差为 1 时，负冲击在平方项的期望里占一半，整体持续性是 0.06＋0.08＋0.84＝0.98，长期方差是 0.045 ÷ 0.02＝2.25。

同样是负冲击之后方差更大，GJR 里对应 gamma 大于 0，EGARCH 里对应 gamma 小于 0。EGARCH 的 gamma 乘的是带符号的标准化创新，负创新乘上负的 gamma 才会抬高对数方差。

从 foundation model 得到 VaR 和 ES

解释这件事要看模型实际输出了什么。只有一个条件均值时，VaR 和 ES 都算不出来，因为均值相同的两个分布可以有不同的左尾。

模型能给出模拟路径时，按预测目标整理样本，左尾分位数取负得到 VaR，分位数以下那部分样本的均值取负得到 ES。模型给出若干分位数时，要核对它们是否覆盖了目标尾部。一个尾部分位数可以换算成 VaR，ES 还需要这个门槛以外的尾部信息。

模型给出的是波动尺度时，要再配一个收益分布，用 Q ＝ μ ＋ σq 算收益分位数，VaR ＝ −Q。这个分布是模型输出之外加上去的假设，作答时要分开说明。

示例：预测均值 0.12，预测方差 3.24，先开方得到标准差 1.8。普通 t 分布自由度为 6 时，2.5% 分位数是 −2.447。这个 t 分布的方差是 6 ÷ 4，超过 1，所以要乘 √(4/6) 换成单位方差，得到 q ≈ −1.998。于是 Q ≈ 0.12 ＋ 1.8 ×（−1.998）≈ −3.476，VaR 约为 3.476 个百分点。直接用 −2.447 乘 1.8，会把 t 分布自身的方差重复算进风险尺度。

回测的三个结果分开读

示例：800 个一日预测，尾部概率 2.5%，突破 32 次。突破率是 4%，统计量 z ＝（0.04 − 0.025）÷ 0.00552 ≈ 2.72，无条件覆盖检验的 p 值约 0.0066，在 5% 水平拒绝突破率等于 2.5%。突破偏多，说明这个 VaR 门槛偏小。

独立性检验的 p 值是 0.42，不拒绝只表示这项检验没有找到突破在时间上相互依赖的足够证据，前面的覆盖问题依然存在。动态分位数检验看突破能否被预测时已知的信息解释，它的 p 值是 0.018，拒绝说明覆盖或动态条件至少有一项不符，结果没有指出是哪一项。

另一个模型的平均分位数损失（pinball loss）更低时，只能说它在同一批日期上的分位数预测得分更好。它是否校准，还要看它自己的回测结果。