FINC6010 期末考｜二叉树答题先练方向，公式反而不急

📐 方向比公式更容易丢分

FINC6010 Final Exam 是 2 小时限时短答笔试。二叉树定价题里你要用到的公式都已经背过了，但丢分的地方往往跟公式没关系。股票节点从左往右展开，S₀ 先分成 S_u 和 S_d，两步后分成 S_uu、S_ud、S_dd，到这一步大部分人都能画对。那接下来算期权价值的时候，方向要反过来：先在最右边的终端节点把全部 payoff 算出来，Call 取 max(S − K, 0)，Put 取 max(K − S, 0)，算完以后不急，每一层只做一件事：用风险中性概率把两个子节点的值折现回上一层。就这样一层一层倒推，一直推到当前价格。

折现操作长这样：f_u = [p × f_uu + (1 − p) × f_ud] × e^(−r_f × Δt)。这里 p 是风险中性概率，跟 u、d 一起，整棵树里固定，只算一次。那你答题的时候，先把 u = e^(σ√Δt)、d = 1/u 和 p 全部算好写在旁边，后面直接代入就行。整棵树两个方向记清楚：股票往右展开，期权往左折现。搞混这两个方向，中间节点算出来的数全都对不上，整棵树要从头来过。

📌 先画完全部股票节点，再从最右边开始算 payoff 往左折现。方向搞反就全部重来。

📊 美式期权中间多停一步

欧式期权一路倒推回来就完事了。到了美式期权，中间还要多做一件事：在每个非终端节点，先算出立即行权值，再跟折现出来的继续持有值比个大小，哪个大取哪个，然后接着往左推。

🔍 比如一个 American Put，某个中间节点的折现值算出来是 1.23，而立即行权 max(K − S_u, 0) 得 1.80。那就取 1.80 继续折现。这里容易踩一个坑：看到股价跌了就觉得肯定要提前行权。折现值和行权值比过大小之后，行权值更大的节点提前行权，折现值更大的节点继续持有——股价方向本身不够用，要看这两个数。做题时在每个中间节点旁边写两个数，一个折现值一个行权值，圈出大的那个继续用。

一张表就能看出来，美式比欧式在中间节点多了一次比较，终端 payoff 和最后折现回 S₀ 的步骤完全一样。

🔢 用一步树把全部操作走一遍

接下来用一个最简单的一步树，把方向和复制方法全部验证一次。这个例子虽然只有一步，但二叉树所有的操作逻辑都在里面了。

股票现价 AUD 50，期末涨到 53 或跌到 48。执行价 49，连续复利 10%，期限 2 个月。先在终端算 payoff：max(53 − 49, 0) = 4，max(48 − 49, 0) = 0。然后用复制方法列两个方程：53Δ + Xe^(0.1×2/12) = 4，48Δ + Xe^(0.1×2/12) = 0。解出来 ，期权价格 = 50 × 0.8 − 37.77 = 2.23。也就是说，如果花 2.23 买进这份 Call，同时按照复制方法建仓，到期后不管股价涨跌，你的组合刚好收支平衡。