ECON0010 Exam

🔁 同一个 λ，两种系统两种结局

旧样卷里有一道题，同一个矩阵 A 先放进差分系统 y_{t+1}=Ay_t，再放进微分系统 dy/dt=Ay，要你分别求特征值、特征向量，再说明解的行为。

如果你只记了「特征值小于 1 就稳定」，到微分系统这一步就会判错。差分系统每走一步乘一次 λ，走 t 步后是 λ^t；微分系统按 e^{λt} 连续变化。同样是 λ=0.5，前者 1、0.5、0.25 一路往下掉，后者随时间越变越大。

所以拿到题先写清楚时间是一步一步走，还是连续流动，再选判据：离散看 λ 的绝对值是否小于 1，连续看 λ 的实部是否小于 0。两套判据分开记，别混成一句口诀。

📈 偏导是 0，产出还在涨

旧样卷里有生产函数题：资本 K、劳动 L 都随时间变化，问产出怎么随时间变。

拿 Q=K·L 举例。式子里没有单独的 t，对 t 求偏导得 0。如果你写到这里就停，结论是产出不变。可 K 和 L 都在动：当前 K=2、L=3，资本每期加 0.1，劳动每期加 0.2，产出明明在涨。

总导数要把每条路径都算上：dQ/dt = F_K·dK/dt + F_L·dL/dt + F_t。资本这条是 3×0.1=0.3，劳动这条是 2×0.2=0.4，直接时间项是 0，合计 0.7。只写偏导，两条路径全漏掉。我的做法是先画出 K、L、t 三个箭头指向 Q，每个箭头写一项，再相加。

算完再看题目要的是水平变化还是增长率。要增长率，就除以当前产出 6，得 0.7/6。还要记住这是此刻的变化率，拿它乘一小段时间估算增量可以，时间拉长就不准了。