BUSS6002 四种 basis function 拼一条 EPU 曲线，这份 report 怎么做

这份 Individual Assignment 占 30%，Canvas 上 full marks 40，题目本身是一个回归问题。EPU.csv 里，x 是 Month Index（1 到 131，对应 2011-06 到 2022-04），y 是 Economic Policy Uncertainty 指数，报纸上越多讨论政策不确定，数值越高。它不是一个月一行：一共 2724 行，每个月有 18–23 条观测。

图：EPU 散点图：横轴 2011 到 2022 年，灰点是每一行观测，红线是月均值；多数年份在 50 到 200 之间，2020 年春天冲到 500 以上。

实际数据 · EPU.csv 全部 2724 行（灰点）与每月均值（红线）。2020 年 3–5 月的疫情冲击远高于其他月份。

拿来拟合的是 linear basis function（LBF）model：y = φ(x)ᵀβ + ε。它其实就是普通线性回归，只是先把 x 变成一组新的列，再对这些列做 OLS*。题目给了四种变法，也就是四种 basis function：piece-wise constant、piece-wise linear、radial 和 Laplace。

OLS：Ordinary Least Squares，找一组 β，让预测值和真实值之差的平方和尽量小。

图：四行小图：piece-wise constant 是三个台阶，piece-wise linear 是三条从断点开始上升的斜线，radial 是三个很窄的钟形鼓包，Laplace 是三个尖顶、两侧缓慢下降的鼓包。

教学示意 · 假数据 · k = 3 时按 brief 公式画出的四种 basis function 示意图，虚线是断点。每个模型另有一列截距 1，piece-wise linear 还多一列 x。

上图就是四种「积木」的形状。piece-wise constant 是台阶，过了断点 t 整体抬高一截；piece-wise linear 是折线，过了断点就换一个斜率；radial 和 Laplace 都是以 t 为中心的鼓包，只影响附近几个月，radial 的鼓包很窄，Laplace 顶是尖的、尾巴拖得更长。k 是积木的块数，k 个断点按 Equation (1) 在 x 的范围里等距排开。

官方 template 写好了四个 design_mat_* 函数，但有个地方容易漏：函数里的 x_min、x_max 是用传进来的 x 现算的。一旦传进 validation set、test set 或预测月份，断点就悄悄换了一组，代码还不报错。稳妥的做法是固定成全样本的 1 和 131，让所有集合共用一组断点。

给定 k 后，β 用 OLS 估计，template 写的是 (ΦᵀΦ)⁻¹Φᵀy。Methodology 要讨论 numerical issues：piece-wise linear 多一列取值到 131 的 x，ΦᵀΦ 的 condition number 会很大，也就是离不可逆很近，显式求逆容易放大误差。

台阶型还有一种情况：如果某一段区间里一个训练点都没有，会出现两列完全相同，矩阵直接不可逆。改用求解会更稳。