两列数通过同一个对象配对

Week 9 的配对样本（paired samples）练习里，24 户家庭在更换路由器前后各测一次下载速度。每户都有两个数，两列数据通过家庭一一对应。要研究平均速度是否改变，就为每户算一个「更换后减更换前」的差值，再对差值的总体均值做 paired t test。

另一道练习比较两套库存系统：系统 A 来自 36 家店，系统 B 来自另外 40 家店，两组门店没有匹配关系。这题使用独立样本（independent samples）的均值差方法，分别保留两组的样本量和标准差。

识别方法时，题干中的 same households、different stores 说明了两列数之间的关系。配对还可以来自同一个项目收到的两份报价，不限于前后测量。

配对题中的 n 是配对数量

用电量练习记录了 10 间办公室实行自动关机安排后的每日变化。定义差值 d＝实行后减实行前，单位为 MWh。给出的 10 个差值是：

−4，−2，−6，1，−3，−5，−1，−4，−2，−7。

负数表示实行后用电量较低。平均差值为 −3.3 MWh，差值的样本标准差 s_d 约为 2.406 MWh。

标准误 SE＝s_d／√n＝2.406／√10≈0.7608 MWh。这里 n＝10，来自 10 对测量，paired t 的自由度为 9。标准误使用差值的标准差 s_d；把前、后两列各自的标准差放进独立样本公式，会丢掉同一办公室两次测量之间的关联。

这题样本较小，还需检查差值分布有无严重偏斜或极端离群值，并要求不同办公室的差值相互独立。

从平均变化算到总体结论

题目问用电量是否「改变」，对应双尾检验。原假设是总体平均差值 μ_d＝0，备择假设是 μ_d≠0。

检验统计量 t＝（−3.3−0）／0.7608≈−4.337。在自由度为 9 的 t 分布下，双尾 p 值约为 0.0019，小于 0.05，因此拒绝原假设。

同一题的 95% 置信区间使用临界值 2.262：

−3.3±2.262×0.7608≈［−5.02，−1.58］MWh。

区间完全为负，支持实行后总体平均每日用电量较低，估计降幅约为 1.58 至 5.02 MWh。这个区间描述总体平均变化，不能解释为每间办公室都会下降这么多；单靠前后比较也不足以确认变化全由自动关机安排造成。

换差值方向时连区间一起换

如果改成 d＝实行前减实行后，10 个差值全部反号，平均差值变为 3.3 MWh，t 变为 4.337。原区间［−5.02，−1.58］对应的新区间是［1.58，5.02］，端点反号后还要按从小到大排列。

两个方向表达的都是实行后平均用电量较低。双尾 p 值取决于 t 的绝对值，因此 p 值和拒绝决定保持不变。这个关系针对双尾检验；单尾检验的方向要随参数定义一起调整。

文中例子用于巩固 Week 9 的配对推断，不代表学校已确认本次 final 的范围或题型。