ECON0005 Exam

📏 区间重叠了，差值仍可能显著

2019 年的往年卷有一道 log-wages 题：英国和法国各做一个 95% 置信区间，两段区间重叠，问能不能说两国均值没差别。

看图的直觉是重叠就没差别。检验看的是均值差，它的标准误是两边方差先相加再开方，比两段半宽直接相加要小。举个数：两边标准误都是 1，均值差 3，两段区间各宽 ±1.96，会重叠；均值差的标准误约 1.41，z 约 2.12，超过 1.96，照样拒绝原假设。反过来，两段区间不重叠时，均值差一定超过临界值，这时可以直接拒绝。

我的做法是先固定相减方向，写出差值的标准误，再下结论。重叠只说明你还得算一步。

🧮 看到 given，先换分母

同一份卷子有张教育年数和收入的概率表。问 12 年教育的人年入 £100,000 的概率，格子里写着 0.05，直接抄 0.05，就把 joint 当成了 conditional。

表里每个格子都以全体人为分母。given 把人群缩到 12 年教育那一行，这一行合计是 0.30，所以结果是 0.05 ÷ 0.30，约 0.167。

反过来问年入 £100,000 的人里有多少是 12 年教育，条件变成了收入，分母换成这一列的合计 0.33，结果约 0.152。同一个格子，两个方向的分母不同，数也不同，不能互换。

我的做法：先圈出 given，把条件写在竖线右边，再看条件落在行还是列。算完把这一行的条件概率加一遍，合计应该是 1。

💷 条件期望先把一行变成分布

接着问 18 年教育的期望收入。拿格子里的 0.18、0.07、0.05 直接乘三档收入，得到 £23,450，比表里任何一档收入都低，这个数一看就站不住。原因在于这三个数加起来只有 0.30，它们描述的是全体人，用它加权等于只算了三成人的收入，又没有除回去。

先把这一行除以行合计 0.30，得到 0.6、0.233、0.167，再加权：60,000 + 14,000 + 4,167，约 £78,167。

这一步的自查很简单：条件期望要落在这一行的收入范围内。跑出范围，多半是分母漏了。后面接着问教育系数能不能当因果影响，表里的数只能说明教育和收入一起变化，这句要写清。

📋 一张概率表的四种问法

概率表的题看着都是查表，区别只在分母取哪一个。我把四种问法按取数位置排在一起，例子都用 2019 年那张教育收入表，本期题型和分值以官方通知为准。刷题时拿任意一张表照着走一遍，分母就不会再选错。