方向确定以后，再沿生产函数 $y = f(k)$ 把产出方向也定下来。考试画图需要同时画出 $sf(k)$ 曲线和 $\delta k$ 直线：两条线在当前 $k$ 的位置谁高谁低，方向就出来了。

💡 稳态对应的就是 $sf(k)$ 和 $\delta k$ 交叉的那个点。先在图上标出这个交点，它左边的箭头指右，右边的箭头指左，两侧方向就自动确定了。

📊 一组数字走完三步，顺便把图画了

拿一组典型设定来看：$y = 50$，$k = 100$，$s = 0.20$，$\delta = 0.08$。

• 🧮 投资：$0.20 \times 50 = 10$
• 折旧：$0.08 \times 100 = 8$
• 比较：$10 > 8$，净增加 $2$，资本从 100 往 102 走

结论很清楚：$k = 100$ 在稳态左边，资本在积累。接下来一个值得留意的关系：随着 $k$ 继续增加，$\delta k$ 是直线，斜率固定，增长速度不变；而 $sf(k)$ 是凹函数，增速越来越慢。所以不管投资一开始领先多少，两条线一定会交叉。交叉点 $k^*$ 就是稳态，过了这个点以后折旧就反超了。

这组数可以直接拿来画图。先画 $\delta k$ 直线和 $sf(k)$ 曲线，标出交叉点 $k^*$。然后在 $k = 100$ 处看两条线的纵向间距，间距就是净增加量 $2$。换个方向试一下：如果题目改成 $k = 300$，折旧变成 $0.08 \times 300 = 24$，远大于在 $k = 100$ 时的 $8$。而投资那边，因为生产函数的凹性，$sf(300)$ 增长得没那么快，大概率已经低于 $24$。三步法比完，箭头就该往左画了。两个位置用同一套操作，得到的方向完全不同，区别就在于第三步比较结果不一样。这个方法还帮你判断离稳态有多远：纵向间距越大，变化越快；间距越小，说明越接近稳态。

📌 图形题的作答顺序可以这样固定下来：先标 $sf(k)$ 和 $\delta k$ 的交点，再看题目给的 $k$ 在交点左边还是右边。交点位置确定了，每个点的方向就确定了。

🔄 扩展模型折旧项多了两项，检查法没变

Week 10 讲到技术进步的增长模型，有效工人的资本 $k_E$ 变化取决于 $sf(k_E)$ 和 $(\delta + g_A + g_N)k_E$ 的比较。$g_A$ 是技术进步率，$g_N$ 是人口增长率。

操作上跟基础版完全一样：

• 算投资 $sf(k_E)$
• 算有效折旧 $(\delta + g_A + g_N)k_E$
• 比大小，确认 $k_E$ 的方向

折旧项多了两个分量，直线的斜率变大了，达到稳态需要的投资更高，两条线交叉的位置可能比基础模型更早出现。但判断方向的方法没有任何变化。基础版本的三步法练熟了，遇到扩展版本只需要把括号里的分量更新一下，然后从第一步走到第三步，方向就出来了。考试遇到这类题，先确认折旧项里包含哪些分量，再按同样的三步走完就行。

📋 三步检查法练成条件反射，图形题的方向判断就稳了。这组复习整理来自 ECON5002 2026S1 往期资料参考预览，考试安排以你所在学期的 Syllabus 为准。